Question

3．如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得到幾何體B-ACD．

（1）求證：AC⊥BD；
（2）求AB與平面BCD所成角的正切值；
（3）求二面角D-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由BD⊥AD，BD⊥DC，得BD⊥面ACD，由此能證明BD⊥AC．
（2）推導(dǎo)出AC⊥CD，AC⊥BD，從而∠ABC是AB與平面BCD所成的角，由此能求出AB與平面BCD所成的角的正切值．
（3）過(guò)點(diǎn)D作DO⊥BC于O，過(guò)O作OD⊥AB于E，連結(jié)DE，則∠DEO為二面角D-AB-C的平面角，由此能求出二面角D-AB-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵在△ABC中，BD為AC邊上的高，BD=1，BC=AD=2，
沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，
∴BD⊥AD，BD⊥DC，且AD∩DC=D，
∴BD⊥面ACD，
又∵AC?面ACD，∴BD⊥AC．
解：（2）∵DC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
且AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos30°
=4+3-2×$2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
∴AC²+CD²=AD²，∴AC⊥CD，
又∵AC⊥BD，且CD∩BD=D，∴AC⊥平面BCD，
∴∠ABC是AB與平面BCD所成的角，
在Rt△ABC中，tan$∠ABC=\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB與平面BCD所成的角的正切值為$\frac{1}{2}$．
（3）在△BCD中，過(guò)點(diǎn)D作DO⊥BC于O，
則AC⊥DO，∴DC⊥面ABC，
在△ABC中，過(guò)O作OD⊥AB于E，連結(jié)DE，則AB⊥面ODE，
∴∠DEO為二面角D-AB-C的平面角，
在Rt△BCD中，由題意AB=$\sqrt{5}$，DE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△BCD中，由題意DO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=$\sqrt{D{E}^{2}-D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴cos$∠DEO=\frac{OE}{DE}$=$\frac{1}{4}$，
∴二面角D-AB-C的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審，注意空間思維能力的培養(yǎng)．