Question

7．若數(shù)列{a_n}滿足$\frac{a_1}{1}$+$\frac{a_2}{3}$+…+$\frac{a_n}{2n-1}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{{{4^{n+1}}}}{5^n}$，且對任意的n∈N^*，存在m∈N^*，使得不等式a_n≤a_m恒成立，則m的值是5．

Answer 1

分析 通過作差可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)即可判斷出數(shù)列的變化規(guī)律，進(jìn)而即得結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{a_1}{1}$+$\frac{a_2}{3}$+…+$\frac{a_n}{2n-1}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{{{4^{n+1}}}}{5^n}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{a_1}{1}$+$\frac{a_2}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{2n-3}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{{4}^{n}}{{5}^{n-1}}$，
兩式相減得：$\frac{a_n}{2n-1}$=$\frac{{4}^{n}}{{5}^{n-1}}$-$\frac{{{4^{n+1}}}}{5^n}$=$\frac{{4}^{n}}{{5}^{n}}$，
∴a_n=（2n-1）•$（\frac{4}{5}）^{n}$（n≥2），
又∵$\frac{a_1}{1}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{16}{5}$=-$\frac{19}{20}$不滿足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{19}{20}，}&{n=1}\\{（2n-1）•（{\frac{4}{5}）}^{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∵a₂=$\frac{48}{25}$，a₃=$\frac{64}{25}$，a₄=$\frac{1792}{625}$，a₅=$\frac{9216}{3125}$，a₆=$\frac{45056}{15625}$，
且易知從第六項(xiàng)開始數(shù)列遞減，
∴m=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．