Question

19．已知函數(shù)f（x）=3ax²-2（a-b+1）x-b，a，b∈R，x∈[-1，1]．
（1）若a+b=1，證明函數(shù)f（x）的圖象必過定點；
（2）記|f（x）|的最大值為M，對任意的|a|≤1，|b|≤1，求M的最大值．

Answer 1

分析 （1）要使函數(shù)過定點，則需a的系數(shù)3x²-4x+1為0，解得x=1或x=$\frac{1}{3}$．
（2）先對a進行分類討論，再對對稱軸進行分類．

解答 （1）∵a+b=1，∴b=1-a．
∴f（x）=a（3x²-4x+1）-1，
要使函數(shù)過定點，則需3x²-4x+1=0，
解得x=1或x=$\frac{1}{3}$．
故可知函數(shù)的圖象必過的定點是（1，-1）和（$\frac{1}{3}$，-1）．
（2）當a=0時，f（x）=2（b-1）x-b∈[b-2，2-3b]，所以此時|f（x）|≤5；
當a＜0時，對稱軸x=$\frac{a-b+1}{3a}≤\frac{1}{3}$，
①$\frac{a-b+1}{3a}≤-1$，即b≤1+4a時，f（x）∈[a+b-2，5a-3b+2]，此時-4≤f（x）≤5，
②$\frac{a-b+1}{3a}＞-1$，即b＞1+4a時，f（x）≤-b-$\frac{（a-b+1）^{2}}{3a}$＜-b-3a≤4，
又f（x）≥min{a-b+2，5a-3b+2}≥-6，所以|f（x）|≤6，
當a＞0時，對稱軸x=$\frac{a-b+1}{3a}$≥$\frac{1}{3}$
$①\frac{a-b+1}{3a}≥1，即b≤1-2a時$，f（x）≤5a-3b+2≤10，
f（x）≥a+b-2≥-3，所以|f（x）|≤10．
$②\frac{a-b+1}{3a}＜1，即b＞1-2a時$，f（x）≤5a-3b+2≤10．
f（x）≥-b-$\frac{（a-b+1）^{2}}{3a}$≥-b-3a≥4，所以|f（x）|≤10．
綜上，M的最大值為10，當a=1，b=-1，x=-1時取到．

點評 本題考查函數(shù)過定點問題和分類討論．