Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為m，設(shè)a＞0，b＞0，且a+b=m，求$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先去絕對值可得f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-2x，x＜-1}\\{2，-1≤x≤1}\\{2x，x＞1}\end{array}}\right.$，分類討論可求f（x）＜3的解集．
（Ⅱ）可求當(dāng)-1≤x≤1，m=2，則a+b=2，則由$\frac{1}{a}+\frac{2}=（\frac{1}{a}+\frac{2}）×\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}（3+\frac{a}+\frac{2a}）≥\frac{3}{2}+\sqrt{2}$，利用基本不等式即可得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=|x-1|+|x+1|=$\left\{{\begin{array}{l}{-2x，x＜-1}\\{2，-1≤x≤1}\\{2x，x＞1}\end{array}}\right.$，
當(dāng)x＜-1時(shí)，$-2x＜3，x＞-\frac{3}{2}$，得$-\frac{3}{2}＜x＜-1$，當(dāng)-1≤x≤1，均滿足，
當(dāng)x＞1時(shí)，$2x＜3，x＜\frac{3}{2}$，則$1＜x＜\frac{3}{2}$，
綜上$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{3}{2}$，
所以，f（x）＜3的解集為$\{\left.x\right|-\frac{3}{2}＜x＜\frac{3}{2}\}$； …．（5分）
（Ⅱ）由于當(dāng)-1≤x≤1，f（x）取得最小值m=2，則a+b=2，
下面做乘法：∵a＞0，b＞0，
則$\frac{1}{a}+\frac{2}=（\frac{1}{a}+\frac{2}）×\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}（3+\frac{a}+\frac{2a}）≥\frac{3}{2}+\sqrt{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)$a=2\sqrt{2}-2，b=4-2\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)），
所以$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值為$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查了絕對值不等式的解法，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．