Question

8．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{x^2}{b^2}$=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A、B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)k_OB=-$\frac{a}$，利用AB⊥OB，可得k_AB=$\frac{a}$，再求出A，B的坐標(biāo)，可得k_AB=$\frac{3b}{a}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，設(shè)k_OB=-$\frac{a}$，
∵AB⊥OB，
∴k_AB=$\frac{a}$，
直線FB的方程為y=$\frac{a}$（x-c），
與y=-$\frac{a}$x聯(lián)立可得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$）
∵A（c，$\frac{bc}{a}$），
∴k_AB=$\frac{3b}{a}$=$\frac{a}$，
∴b²=$\frac{1}{3}$a²，
∴c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率，考查向量知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．