Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a＞$\frac{1}{2}$，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=（1-a）x，若?x₀∈[1，e]使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）若?x₀∈[1，e]使得f（x₀）≥g（x₀）成立，轉(zhuǎn)化為f（x）≥g（x）在區(qū)間[1，e]上有解，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-a）}{x}$，（x＞0，a＞$\frac{1}{2}$），
令f′（x）＞0，解得：x＞a或0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜a，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
（Ⅱ）由題意知，不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間[1，e]上有解，
即x²-2x+a（lnx-x）≥0在區(qū)間[1，e]上有解，
∵當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，lnx≤1≤x（不同時(shí)取等號(hào)），
∴l(xiāng)nx-x＜0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在區(qū)間[1，e]上有解，
令　h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，則h′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{{（x-lnx）}^{2}}$，
∵x∈[1，e]，∴x+2＞2≥2lnx，
∴h′（x）≥0，則h（x）單調(diào)遞增，
∴x∈[1，e]時(shí)，h（x）的最大值為h（e）=$\frac{e（e-2）}{e-1}$，
∴a≤$\frac{e（e-2）}{e-1}$，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{e（e-2）}{e-1}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用和綜合分析問題解決問題的能力．