Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax-e^x+1，a∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0在x∈R上恒成立，求實數(shù)a的取值集合；
（3）當a=1時，對任意的0＜m＜n，求證：$\frac{1}{n}$-1＜$\frac{f（lnn）-f（lnm）}{n-m}$＜$\frac{1}{m}$-1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知原函數(shù)的解析式求導(dǎo)，分析定義域內(nèi)各區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的符號，進而可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，對a進行分類討論，求出使f（x）≤0在x∈R上恒成立的實數(shù)a的取值，綜合討論結(jié)果可得答案；
（3）由（2）知：a=1時，f（lnx）=lnx-x+1≤0恒成立，所以有l(wèi)nx≤x-1，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax-e^x+1，
∴f'（x）=a-e^x，
當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）減區(qū)間為（-∞，+∞）；
當a＞0時，由f'（x）＞0得x＜lna，
由f'（x）＜0得x＞lna，由f'（x）＞0得x＜lna，
∴f（x）遞增區(qū)間為（-∞，lna），遞減區(qū)間為（lna，+∞）．（3分）
（2）由（1）知，
當a≤0時，f（x）在（-∞，+∞）上為遞減，而f（0）=0，
∴f（x）≤0在R上不可能恒成立；
當a＞0時，f（x）在（-∞，lna）上遞增，在（lna，+∞）上遞減，f（x）_max=f（lna）=alna-a+1，
令g（a）=alna-a+1，
依題意有g(shù)（a）≤0，而g'（a）=lna，且a＞0，
∴g（a）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴g（a）_min=g（1）=0，故a=（0，+∞）．（7分）
（3）證明：由（2）知：a=1時，f（lnx）=lnx-x+1≤0恒成立，所以有l(wèi)nx≤x-1（x＞0）．
則$\frac{f（lnn）-f（lnm）}{n-m}=\frac{（lnn-n+1）-（lnm-m+1）}{n-m}=\frac{{ln\frac{n}{m}}}{n-m}-1＜\frac{{\frac{n}{m}-1}}{n-m}=\frac{1}{m}-1$，（9分）
又由lnx≤x-1知-lnx≥1-x在（0，+∞）上恒成立，
∴$\frac{f（lnn）-f（lnm）}{n-m}=\frac{{ln\frac{n}{m}}}{n-m}-1=\frac{{-ln\frac{m}{n}}}{n-m}-1＞\frac{{1-\frac{m}{n}}}{n-m}-1=\frac{1}{n}-1$．（11分）
綜上所述：對任意的0＜m＜n，有$\frac{1}{n}-1＜\frac{f（n）-f（m）}{n-m}＜\frac{1}{m}-1$．（12分）

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．