Question

13．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察程序框圖，若k=5，k=10時(shí)，分別有S=$\frac{5}{11}$和S=$\frac{10}{21}$
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）令b_n=2^a_n，求b₁+b₂+…+b₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）由框圖可知S=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$，$\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$=$\frac{1}nmazfcs$（$\frac{1}{{a}_{k}}+\frac{1}{{a}_{k+1}}$），從而S=$\frac{1}puoirtg$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
（2）由$_{n}={2}^{{a}_{n}}={2}^{2n-1}$，能求出b₁+b₂+…+b₂₀₁₅的值．

解答 解：（1）由框圖可知：
S=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$，
∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∴$\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$=$\frac{1}jtqztwf$（$\frac{1}{{a}_{k}}+\frac{1}{{a}_{k+1}}$），
∴$S=\frac{1}qz82urk（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}}-\frac{1}{{a}_{k+1}}）$=$\frac{1}zzsql5i$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），
由題意可知，k=5時(shí)，S=$\frac{5}{11}$，k=10時(shí)，$S=\frac{10}{21}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}pg9i9kh（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{6}}）=\frac{5}{11}}\\{\frac{1}dtxk9yp（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{11}}）=\frac{10}{21}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{d=-2}\end{array}\right.$（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（2）由（1）得：$_{n}={2}^{{a}_{n}}={2}^{2n-1}$，
∴b₁+b₂+…+b₂₀₁₅
=2+2³+…+2^2n-1
=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意程序框圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．