Question

已知圓x²+（y-1）²=1被直線y=x-a（a≥0）截得的弦長為

2

，設(shè)函數(shù)g（x）=-x²+4x+1+

a

x

，若在區(qū)間[1，2]上，不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)圓和直線的位置關(guān)系，以及點到直線的距離公式，求出a的值，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)g（x）的值域，構(gòu)造不等式組，解得即可

解答： 解：∵圓x²+（y-1）²=1被直線y=x-a（a≥0）截得的弦長為

2

，
∴圓心到直線的距離為

2

2

，
根據(jù)點到直線的距離公式得：

|1+a|

2

=

2

2

，
解得a=-2（舍去），a=0，
∴g（x）=-x²+4x+1=-（x-2）²+5，
∴函數(shù)g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴g（1）≤g（x）≤g（2），
即4≤g（x）≤5，
∵不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，
∴

m2-4≥5 -m≤4

，
解得m∈[-4，-3]∪[3，+∞）
故答案為：[-4，-3]∪[3，+∞）

點評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題，是一道綜合性較強的題，屬于中檔題．