Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=2，{a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$，則該數(shù)列的前2017項(xiàng)的乘積a₁a₂a₃…a₂₀₁₇=（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 利用遞推公式求出數(shù)列的前5項(xiàng)，得到數(shù)列{a_n}是以4為周期的周期數(shù)列，由此能求出該數(shù)列的前2017項(xiàng)的乘積a₁a₂a₃…a₂₀₁₇．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=2，{a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$，
∴${a}_{2}=\frac{2-1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
${a}_{3}=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}$=-$\frac{1}{2}$，
${a}_{4}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}+1}$=-3，
${a}_{5}=\frac{-3-1}{-3+1}$=2．
∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的周期數(shù)列，
∴該數(shù)列的前2017項(xiàng)的乘積a₁a₂a₃…a₂₀₁₇=（a₁a₂a₃a₄）⁵⁰⁴•（a₁a₂a₃）=[$2×\frac{1}{3}×（-\frac{1}{2}）×（-3）$]⁵⁰⁴×[2×$\frac{1}{3}×（-\frac{1}{2}）$]=-$\frac{1}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前2017項(xiàng)積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的遞推公式的合理運(yùn)用．