Question

已知點F（0，

3

2

），動圓P經過點F且和直線y=-

3

2

相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（1）求曲線W的方程；
（2）四邊形ABCD是等腰梯形，A，B在直線y=1上，C，D在x軸上，四邊形ABCD的三邊BC，CD，DA分別與曲線W切于P，Q，R，求等腰梯形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程,基本不等式在最值問題中的應用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由動圓圓心P到F的距離等于P到y(tǒng)=

1

2

的距離，知P點的軌跡是拋物線，由此能求出雙曲線W的方程．
（2）設P（x，y），由y=

1

6

x²，y′=

1

3

x，可知BC方程；y-y₁=

1

3

x₁（x-x₁），求出B，C的坐標，可得梯形ABCD的面積，能求出等腰梯形ABCD的面積的最小值．

解答： 解：（1）動圓圓心P到F的距離等于P到y(tǒng)=

1

2

的距離，則P點的軌跡是拋物線，
且p=2，所以x²=6y為拋物線W的方程．       …（5分）
（2）設P（x，y），由y=

1

6

x²，y′=

1

3

x，可知BC方程；y-y₁=

1

3

x₁（x-x₁）…（8分）
令y=0，可得x=

1

2

x₁，即C（

1

2

x₁，0）
令y=1，可得x=

6+x12

2x1

，即B（

6+x12

2x1

，1）…（10分）
所以梯形ABCD的面積S=

1

2

（x₁+

6+x12

2x1

）=

1

2

（2x₁+

6

x1

）≥2

3

   …（12分）
當且僅當，2x₁=

6

x1

即x₁=

3

時，S有最小值2

3

  …（13分）

點評：本題考查曲線方程的求法，考查等腰梯形ABCD的面積的最小值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．