Question

6．在正三棱錐S-ABC中，AB=BC=AC=4，D是AB中點(diǎn)，且SD與BC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，則三棱錐S-ABC外接圓的表面積為24π．

Answer 1

分析 先設(shè)出側(cè)棱長(zhǎng)為l，正三棱錐的底邊長(zhǎng)為a，利用異面直線所成角的概念及已知SD與BC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，建立l和a的方程，得出正三棱錐S-ABC為正四面體，棱長(zhǎng)為4，外接球的半徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意畫(huà)出圖形：由于三棱錐S-ABC為正三棱錐
設(shè)側(cè)棱為l，底面邊長(zhǎng)為a，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，且SD與BC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
取AC的中點(diǎn)E，因?yàn)镈E∥BC，所以cos∠SDE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
所以$\frac{\frac{a}{4}}{\sqrt{{l}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，所以a=l，
所以正三棱錐S-ABC為正四面體，棱長(zhǎng)為4，外接球的半徑為$\frac{3}{4}×\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\sqrt{6}$，
∴三棱錐S-ABC外接圓的表面積為4π•6=24π，
故答案為24π．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了異面直線所成角的概念，還考查了直線與平面所成的線面角的概念及解題過(guò)程中方程的解題思想，屬于中檔題，解題的關(guān)鍵就是尋找線面所成角．