Question

18．如圖，三棱錐A-BCD的棱長均為2$\sqrt{3}$，將平面ACD沿CD旋轉至平面PCD，且使得AP∥平面BCD．
（Ⅰ）求二面角A-CD-P的余弦值；
（Ⅱ）求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中點E，連接AE，PE，則∠AEP為二面角A-CD-P的平面角，由此能求出二面角A-CD-P的余弦值．
（Ⅱ） 過A作AO⊥平面BCD，連接OP，推導出∠OPE為直線AB與平面PCD所成的角，由此能求出直線AB與平面PCD所成的角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）取CD中點E，連接AE，PE，
∵三棱錐A-BCD各棱長均為$2\sqrt{3}$，∴AE⊥CD，PE⊥CD，BE=AE=PE=3，
∴∠AEP為二面角A-CD-P的平面角，
又∵$cos∠AEB=\frac{{A{E^2}+B{E^2}-A{B^2}}}{2BE•AE}=\frac{1}{3}$，AP∥平面BCD，
∴AP∥BE∴∠PAE=∠AEB，
∴$cos∠PAE=cos∠AEB=\frac{1}{3}$，
$cos∠AEP=cos（π-2∠PAE）=-cos2∠PAE=1-2{cos^2}∠PAE=\frac{7}{9}$，
∴二面角A-CD-P的余弦值為$\frac{7}{9}$．
（Ⅱ） 過A作AO⊥平面BCD，連接OP，
由AP∥平面BCD，得AP∥BE，
∵BO=BE-EO=3-3cos∠AEB=2，
$AP=\sqrt{A{E^2}+P{E^2}-2AE•PEcos∠AEP}=2$，∴AP=BO，
∴四邊形ABOP為平行四邊形，∴AB∥OP，
∴∠OPE為直線AB與平面PCD所成的角，
∵OP=AB=$2\sqrt{3}$，PE=3，OE=1，
∴$cos∠OPE=\frac{{O{P^2}+P{E^2}-O{E^2}}}{2OP•PE}=\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，
∴$sin∠OPE=\frac{{\sqrt{6}}}{9}$，
∴直線AB與平面PCD所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{9}$．

點評 本題考查二面角的余弦值的求法，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．