Question

3．如圖1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，對(duì)角線BD與EF交于O點(diǎn)，沿EF將矩形ABFE折起，使平面ABFE與平面EFCD所成角為60°．在圖2中：
（1）求證：BO⊥DO；
（2）求平面DOB與平面BFC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先求出OD=$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{3}$，連結(jié)BD，求出BD=$\sqrt{6}$，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．
（2）以F這原點(diǎn)，在平面BFC中過F作FC的垂線為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)E作z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面DOB與平面BFC所成角的余弦值．

解答 證明：（1）由題設(shè)知OD=$\sqrt{O{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
OB=$\sqrt{O{F}^{2}+F{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
連結(jié)BD，在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+2}$=$\sqrt{6}$，
∴OD²+OB²=BD²=6，
由勾股定理逆定理得OD⊥OB．
解：（2）以F這原點(diǎn)，在平面BFC中過F作FC的垂線為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)E作z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則O（0，0，1），B（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，-1$），D（0，$\sqrt{2}$，2），F(xiàn)（0，0，0），
∴$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1），$\overrightarrow{OD}$=（0，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{FO}$=（0，0，1），
設(shè)平面OBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=\frac{\sqrt{6}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{2}y+z=0}\end{array}\right.$，令y=-$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$，2），
平面FBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6+2+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴平面DOB與平面BFC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．