Question

18．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x²+y²=1，把圓O的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到軌跡方程為C．
（1）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，直線l為ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求曲線C與直線l交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（2）若直線l₁經(jīng)過點(diǎn)Q（2，1），直線l₁與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)Q到A，B兩點(diǎn)的距離之積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓O上一點(diǎn)P（x₀，y₀），曲線C上一點(diǎn)P'（x，y），由題意可得，x=2x₀，y=y₀，代入圓方程，可得軌跡C的方程．由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入直線的極坐標(biāo)方程可得直角坐標(biāo)方程，代入曲線C的方程，解方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)出直線l₁的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，以及同角的平方關(guān)系及正弦函數(shù)的值域，計(jì)算即可得到所求最小值．

解答 解：（1）設(shè)圓O上一點(diǎn)P（x₀，y₀），曲線C上一點(diǎn)P'（x，y），
由題意可得，x=2x₀，y=y₀，即x₀=$\frac{1}{2}$x，y₀=y，
代入x₀²+y₀²=1，可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
由直線l為ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即為$\frac{1}{2}$ρcosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，即有直線l的方程為x-$\sqrt{3}$y=$\sqrt{3}$，
將x=$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$代入曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得7y²+6y-1=0，
解得y₁=-1，y₂=$\frac{1}{7}$，
可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），（$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，$\frac{1}{7}$）；
（2）直線l₁經(jīng)過點(diǎn)Q（2，1），
可設(shè)直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得
（2+tcosα）²+4（1+tsinα）²=4，
化為t²（cos²α+4sin²α）+t（4cosα+8sinα）+4=0，
即有t₁t₂=$\frac{4}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$，
由參數(shù)的幾何意義可得，
|QA|•|QB|=$\frac{4}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}$，
當(dāng)sinα=1，即傾斜角α=90°時(shí)，取得最小值1．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用代入法，考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線和曲線的交點(diǎn)的求法，同時(shí)考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理和正弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．