Question

13．求下列函數(shù)的值域．
（1）y=10${\;}^{\frac{1}{|x|+x}}$；
（2）y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{\frac{2x}{x+1}-1}}$．

Answer 1

分析 （1）由于|x|+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＞0}\\{0，x≤0}\end{array}\right.$，且|x|+x在分母上，可得x＞0，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)的值域．
（2）$\frac{2x}{x+1}-1$≥0，化為：$\frac{x-1}{x+1}$≥0，可得函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{\frac{2x}{x+1}-1}}$的定義域?yàn)椋?1，1]，變形$\frac{2x}{x+1}-1$=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$∈[0，+∞），即可得出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）由于|x|+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＞0}\\{0，x≤0}\end{array}\right.$，且|x|+x在分母上，因此x＞0，∴$\frac{1}{|x|+x}$=$\frac{1}{2x}$＞0，∴y=10${\;}^{\frac{1}{|x|+x}}$＞1，因此函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）．
（2）$\frac{2x}{x+1}-1$≥0，化為：$\frac{x-1}{x+1}$≥0，即$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）（x+1）≥0}\\{x+1≠0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x≤1．
∴函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{\frac{2x}{x+1}-1}}$的定義域?yàn)椋?1，1]，
由$\frac{2x}{x+1}-1$=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$∈[0，+∞）．
∴函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{\frac{2x}{x+1}-1}}$的值域?yàn)椋海?，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域與值域、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．