Question

1．已知函數(shù)g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax²（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)-8＜a＜-2時(shí)，若存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3+$\frac{2}{3}$ln（-a） 恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)=0代入函數(shù)f（x）的解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，得到函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)極值；
（Ⅱ）由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在[1，3]上的最值，再由$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|＞（m+ln3）a-2ln3+\frac{2}{3}ln（-a）$恒成立，結(jié)合分離參數(shù)可得$m＞\frac{2}{3a}-4-\frac{2ln（-a）}{3a}$，構(gòu)造函數(shù)$F（t）=-\frac{2}{3t}+\frac{2lnt}{3t}-4$，利用導(dǎo)數(shù)求其最值得m的范圍．

解答 解：（I）依題意h′（x）=$\frac{1}{x}+2ax$，則$f（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$，x∈（0，+∞），
當(dāng)a=0時(shí)，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，${f^'}（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}$，
令f′（x）=0，解得$x=\frac{1}{2}$．
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（0，\frac{1}{2}）$，單調(diào)遞增區(qū)間為$（\frac{1}{2}，+∞）$．
∴$x=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得極小值$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，無極大值；
（II）${f^'}（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a$=$\frac{a（2x-1）（x+\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，x∈[1，3]．
當(dāng)-8＜a＜-2，即$\frac{1}{8}$＜$-\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$時(shí)，恒有f′（x）＜0成立，
∴f（x）在[1，3]上是單調(diào)遞減．
∴f（x）_max=f（1）=1+2a，$f{（x）_{min}}=f（3）=（2-a）ln3+\frac{1}{3}+6a$，
∴|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（1）-f（3）=$\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$，
∵x₂∈[1，3]，使得$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|＞（m+ln3）a-2ln3+\frac{2}{3}ln（-a）$恒成立，
∴$\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$＞$（m+ln3）a-2ln3+\frac{2}{3}ln（-a）$，整理得$ma＜\frac{2}{3}-4a-\frac{2}{3}ln（-a）$，
又a＜0，∴$m＞\frac{2}{3a}-4-\frac{2ln（-a）}{3a}$，
令t=-a，則t∈（2，8），構(gòu)造函數(shù)$F（t）=-\frac{2}{3t}+\frac{2lnt}{3t}-4$，
∴${F^'}（t）=\frac{2（2-lnt）}{{3{t^2}}}$，
當(dāng)F′（t）=0時(shí)，t=e²，
當(dāng)F′（t）＞0時(shí)，2＜t＜e²，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)F′（t）＜0時(shí)，e²＜t＜8，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
∴$F{（x）_{max}}=F（{e^2}）=\frac{2}{{3{e^2}}}-4$，
∴m的取值范圍為$（\frac{2}{{3{e^2}}}-4，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，合理構(gòu)造函數(shù)并正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，是壓軸題．