Question

20．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0，$\sqrt{3}$）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線 l的斜率存在，且與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B異于頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，b=$\sqrt{3}$，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可求得a和c的值，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D，可得k_AD•k_BD=-1，即可得出m與k的關(guān)系，從而得出答案．

解答 解：（1）由題意可知：設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，b=$\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，解得：a=2，c=1，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），右頂點(diǎn)為D，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化為3+4k²＞m²．
∴x₁+x₂=$\frac{-8mk}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+mk（x₁+x₂）+m²=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∵以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），k_AD•k_BD=-1，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{16mk}{3+4{k}^{2}}$+4=0．
化為7m²+16mk+4k²=0，解得m₁=-2k，m₂=-$\frac{2k}{7}$，
當(dāng)m₁=-2k，時(shí)，直線l的方程為y=k（x-2），直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）矛盾；
當(dāng)m₂=-$\frac{2k}{7}$時(shí)，直線l的方程為y=k（x-$\frac{2}{7}$），直線過(guò)定點(diǎn)（$\frac{2}{7}$，0）．
∴直線過(guò)定點(diǎn)（$\frac{2}{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．