Question

4．我校舉行環(huán)保知識大獎賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選一題答一題的方式進行．每位選手最多有5次答題機會．選手累計答對3題或答錯三題終止初賽的比賽．答對三題直接進入決賽，答錯3題則被淘汰．已知選手甲連續(xù)兩次答錯的概率為$\frac{1}{9}$（已知甲回答每個問題的正確率相同，并且相互之間沒有影響）
（1）求選手甲回答一個問題的正確率；
（2）求選手甲進入決賽的概率；
（3）設(shè)選手甲在初賽中答題個數(shù)為X，試寫出X的分布列，并求甲在初賽中平均答題個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)選手甲任答一題正確的概率為p，根據(jù)答題連續(xù)兩次答錯的概率列出關(guān)于P的方程，得到甲答對題目的概率；
（2）選手甲能夠進入決賽包括三種種情況，這三種情況是互斥的，由互斥事件的概率公式計算得到答案；
（3）由題意知X可取3，4，5，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和獨立重復(fù)試驗的概率公式寫出變量的概率，寫出分布列做出期望．

解答 解：（1）設(shè)甲答對一個問題的正確為P₁，則（1-P₁）²=$\frac{1}{9}$，解得P₁=$\frac{2}{3}$．
（2）甲答完三題進入決賽的概率為${（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
甲答完四題進入決賽的概率為$C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}•（\frac{1}{3}）•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{27}$，
甲答完五題進入決賽的概率為$C_4^2{（\frac{2}{3}）^2}•{（\frac{1}{3}）^2}•（\frac{2}{3}）=\frac{16}{81}$，
∴甲可以進入決定的概率為P=$\frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}=\frac{64}{81}$．
（3）X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

∴EX=3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{10}{27}$+5×$\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

點評 本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查獨立重復(fù)試驗的概率公式，本題是一個綜合題目，考查的知識點比較全面，在應(yīng)用獨立重復(fù)試驗的概率公式時，注意數(shù)字運算不要出錯．