Question

3．函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$，（m為常數(shù)），若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，總有f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，2]．

Answer 1

分析 通過討論m的范圍，得到$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$的范圍，結(jié)合題意求出m的范圍即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$，
∴函數(shù)f（x）=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，
∵e^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{e}^{x}+1}$＜1，
①當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=1，
對(duì)于任意a，b，c∈R，
都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，
②當(dāng)m＞1時(shí)，∵0＜$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$＜m-1，
∴1＜1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$＜m，
∴對(duì)于任意a，b，c∈R，
都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，
即有只需：2≥m，
∴1＜m≤2，
③當(dāng)m＜1時(shí)，m-1＜$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$＜0，
∴m＜1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$＜1，
∴對(duì)于任意a，b，c∈R，
都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，
即只需2m≥1，$\frac{1}{2}$≤m＜1，
綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[$\frac{1}{2}$，2]，
故答案為：：[$\frac{1}{2}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想思想，是一道中檔題．