Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：或是函數(shù)在上有三個不同零點(diǎn)的必要不充分條件.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間. （2） （3）見解析

【解析】

(1)將參數(shù)值k代入解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0，進(jìn)而得到函數(shù)只有增區(qū)間沒有減區(qū)間；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，在區(qū)間上不單調(diào)所以在上有實數(shù)解，且無重根，變量分離即方程有解，通過換元得到新函數(shù)的單調(diào)性，對方程的根進(jìn)行討論即可;(3)證明：或則函數(shù)在上不能有三個不同零點(diǎn)，證明，函數(shù)有3個不同零點(diǎn)則或即可.

（1）若k=-1，則，所以

由于△=16-48<0,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）因

，因在區(qū)間上不單調(diào)，

所以在上有實數(shù)解，且無重根，

由得

令有，記則，

所以在 上，h(t)單調(diào)遞減，在 上, h(t)單調(diào)遞增，

所以有，于是得

而當(dāng)時有在上有兩個相等的實根，故舍去

所以.

（3）因為

所以，當(dāng)△=，即時

函數(shù)在R上單調(diào)遞增

故在R上不可能有三個不同零點(diǎn)

所以，若在R上有三個不同零點(diǎn)，則必有△，

即是在R上有三個不同零點(diǎn)的必要條件.

而當(dāng)，時，滿足

但

即此時只有兩個不同零點(diǎn)

同樣，當(dāng)時，滿足，

但

即此時也只有兩個不同零點(diǎn)

故k<-2或k>7是在R上有三個不同零點(diǎn)的必要不充分條件.