Question

已知函數(shù)為偶函數(shù)．

(1)求的值；

(2)若方程有且只有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

(1)；(2) 或.

【解析】

試題分析：(1)法一：根據(jù)為偶函數(shù)，將等式化簡(jiǎn)整理即可得到的值；法二：根據(jù)為偶函數(shù)，得到即，從中求解即可得到，檢驗(yàn)此時(shí)是否滿足即可；(2)首先將方程化簡(jiǎn):；由得，進(jìn)而可得，令 ，則*變?yōu)殛P(guān)于的方程只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，先考慮的情形是否符合，然后針對(duì)二次方程的根的分布分該方程有一正一負(fù)根、有兩個(gè)相等的正根進(jìn)行討論求解，并保證即可，最后根據(jù)各種情況討論的結(jié)果寫出的取值范圍的并集即可.

(1)法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720132052831992/SYS201411172013345757641686_DA/SYS201411172013345757641686_DA.004.png">為偶函數(shù)，所以
即，∴
∴，∴ 6分

法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720132052831992/SYS201411172013345757641686_DA/SYS201411172013345757641686_DA.004.png">為偶函數(shù)，所以即，解得

此時(shí)，

，所以.
(2)依題意知:
∴由得
8分
令 ，則①變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720132052831992/SYS201411172013345757641686_DA/SYS201411172013345757641686_DA.023.png">，只需關(guān)于的方程只有一個(gè)正根即可滿足題意
(1) 不合題意 9分
(2)①式有一正一負(fù)根，則 經(jīng)驗(yàn)證滿足， 11分
(3)若①式有兩相等正根，則，此時(shí)

若，則，此時(shí)方程無(wú)正根

故舍去 13分

若，則，且

因此符合要求 15分

綜上得:或 16分.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)；3.二次方程根的分布問(wèn)題.