Question

4．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最小值是（　�。�

• A． -1
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． -2
• D． -$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），得出（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）關(guān)于x，y的表達(dá)式，配方即可得出結(jié)論．

解答 解：以BC為x軸，以BC邊上的高為y軸建立坐標(biāo)系，
則A（0，$\sqrt{3}$），設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$=（-2x，-2y），（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{PA}$=（-x，$\sqrt{3}$-y），
∴（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=2x²+2y²-2$\sqrt{3}$y=2x²+2（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)x=0，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）取得最小值-$\frac{3}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．