Question

【題目】如圖，在三棱臺(tái)DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大�。�

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：根據(jù)已知條件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB； △DEF∽△ABC，又AB=2DE，
∴BC=2EF=2BH，
∴四邊形EFHB為平行四邊形；
∴BE∥HF，HF平面FGH，BE平面FGH；
∴BE∥平面FGH；
同樣，因?yàn)镚H為△ABC中位線，∴GH∥AB；
又DE∥AB；
∴DE∥GH；
∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；
∴平面BDE∥平面FGH，BD平面BDE；
∴BD∥平面FGH；
（Ⅱ）連接HE，則HE∥CF；
∵CF⊥平面ABC；
∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；
∴HC，HG，HE三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)HC=1，則：

H（0，0，0），G（0，1，0），F(xiàn)（1，0，1），B（﹣1，0，0）；
連接BG，根據(jù)已知條件BA=BC，G為AC中點(diǎn)；
∴BG⊥AC；
又CF⊥平面ABC，BG平面ABC；
∴BG⊥CF，AC∩CF=C；
∴BG⊥平面ACFD；
∴向量 為平面ACFD的法向量；
設(shè)平面FGH的法向量為 ，則：
，取z=1，則： ；
設(shè)平面FGH和平面ACFD所成的銳二面角為θ，則：cosθ=|cos |= ；
∴平面FGH與平面ACFD所成的角為60°
【解析】（Ⅰ）根據(jù)AB=2DE便可得到BC=2EF，從而可以得出四邊形EFHB為平行四邊形，從而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再證明DE∥平面FGH，從而得到平面BDE∥平面FGH，從而BD∥平面FGH；（Ⅱ）連接HE，根據(jù)條件能夠說(shuō)明HC，HG，HE三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出一些點(diǎn)的坐標(biāo)．連接BG，可說(shuō)明 為平面ACFD的一條法向量，設(shè)平面FGH的法向量為 ，根據(jù) 即可求出法向量 ，設(shè)平面FGH與平面ACFD所成的角為θ，根據(jù)cosθ= 即可求出平面FGH與平面ACFD所成的角的大�。�