Question

點P為圓x²+y²=1上一個動點，M為點P在y軸上的投影，動點Q滿足

QM

+2

MP

=0．
（1）求動點Q的軌跡C的方程；
（2）一條直線l過點（0，-

1

2

），交曲線C于A、B兩點，且A、B同在以點D（0，1）為圓心的圓上，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）

QM

+2

MP

=0變形得

MQ=

2

MP

，即P點為M和Q的中點，設(shè)動點Q的坐標為（x，y），利用“代入法”即得所求軌跡方程．
（2）首先考慮直線l的斜率不存在的情況，不符合題意；設(shè)直線l的斜率為k，則直線方程為y=kx-

1

2

，與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達定理得到弦AB的中點N點坐標，由DN⊥AB，可得k的方程，求k，求得直線l的方程．

解答： 解：（1）

QM

+2

MP

=0變形得

MQ=

2

MP

，即P點為M和Q的中點，設(shè)動點Q的坐標為（x，y），則P點坐標為（

x

2

，y），將其代入到圓的方程中，得

x2

4

+y2=1，即為所求軌跡方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不符合條件；設(shè)直線l的斜率為k，則直線方程為y=kx-

1

2

，
將其代入到橢圓方程中并整理得（4k²+1）x²-4kx+3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達定理得：x₁+x₂=

4k

4k2+1

，y₁+y₂=-

1

4k2+1

設(shè)弦AB中點為N，則N點坐標為（

2k

4k2+1

，-

1

8k2+2

），
由題意得DN⊥AB，所以

- 1 8k2+2 -1

2k 4k2+1

•k=-1，解得k=±

2

4

，
所以所求直線l的方程為y=±

2

4

x-

1

2

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線垂直的條件，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．