16.已知函數(shù)f(x)=2lnx-x2-mx.
(1)當m=0時,求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)函數(shù)f(x)與x軸交于兩點A(x1,0),B(x2,0)且0<x1<x2,證明:f'($\frac{1}{3}$x1+$\frac{2}{3}$x2)<0.

分析 (1)利用導數(shù)求出單調(diào)性,即可求最值;(2)把交點代入,求出m的關系;求h′(αx1+βx2),利用構造函數(shù)的方法,證明問題.

解答 解:(1)當m=0時,f(x)=2lnx-x2,求導得${f^'}(x)=\frac{2(1+x)(1-x)}{x}$,很據(jù)定義域,容易得到在x=1處取得最大值,得到函數(shù)的最大值為-1.
(2)根據(jù)條件得到$2ln{x_1}-x_1^2-m{x_1}=0$,$2ln{x_2}-x_2^2-m{x_2}=0$,兩式相減得$2(ln{x_1}-ln{x_2})-(x_1^2-x_2^2)=m({x_1}-{x_2})$,
得$m=\frac{{2(ln{x_1}-ln{x_2})-(x_1^2-x_2^2)}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{2(ln{x_1}-ln{x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}-({x_1}+{x_2})$,
因為${f^'}(x)=\frac{2}{x}-2x-m$,
得${f^'}(\frac{1}{3}{x_1}+\frac{2}{3}{x_2})=\frac{2}{{\frac{1}{3}{x_1}+\frac{2}{3}{x_2}}}-2(\frac{1}{3}{x_1}+\frac{2}{3}{x_2})-\frac{{2(ln{x_1}-ln{x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}+({x_1}+{x_2})$=$\frac{2}{{\frac{1}{3}{x_1}+\frac{2}{3}{x_2}}}-\frac{{2(ln{x_1}-ln{x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}+\frac{1}{3}({x_1}-{x_2})$,
因為0<x1<x2,所以$\frac{1}{3}({x_1}-{x_2})<0$,要證${f^'}(\frac{1}{3}{x_1}+\frac{2}{3}{x_2})<0$,
即證$\frac{2}{{\frac{1}{3}{x_1}+\frac{2}{3}{x_2}}}-\frac{{2(ln{x_1}-ln{x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}<0$,
即證$\frac{{2({x_1}-{x_2})}}{{\frac{1}{3}{x_1}+\frac{2}{3}{x_2}}}-2(ln{x_1}-ln{x_2})>0$,即證$\frac{{2(1-\frac{x_2}{x_1})}}{{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\frac{x_2}{x_1}}}-2ln\frac{x_1}{x_2}>0$,
設$\frac{x_1}{x_2}=t$(0<t<1),原式即證$\frac{2(1-t)}{{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}t}}-2lnt>0$,即證$\frac{6(1-t)}{1+2t}-2lnt>0$,
構造$g(t)=-3+\frac{9}{1+2t}-2lnt$求導很容易發(fā)現(xiàn)為負,g(t)單調(diào)減,所以g(t)>g(1)=0得證

點評 考察了導函數(shù)的應用和利用構造函數(shù)的方法,結合導數(shù)求不等式.難度較大,屬于壓軸題.

練習冊系列答案
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7.某產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y(單位:百萬元)之間有如表對應數(shù)據(jù):
x24568
y3040605070
(1)畫出散點圖;
(2)求線性回歸方程;
(3)預測當廣告費支出7(百萬元)時的銷售額.
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}g\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-{{n}_{x}}^{-2}}$,a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$.

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A.$\frac{8}{9}$B.$\frac{10}{11}$C.$\frac{11}{12}$D.$\frac{32}{33}$

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6.“0<x<1”是“l(fā)og2(e2x-1)<2”的( 。
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C.充要條件D.既不充分也不必要

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