Question

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))，在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與各有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合.

（1）分別說明是什么曲線，并求出與的值；

（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)分別為，當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)為，求四邊形的面積.

 

Answer 1

（1）為圓，為橢圓，，；（2）四邊形的面積為

【解析】

試題分析：（1）將的參數(shù)方程化為普通方程可得可知為圓方程，同理，將的參數(shù)方程化為普通方程可得，可知為橢圓方程，當(dāng)時(shí)，射線與，交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別是，，∵這兩點(diǎn)間的距離為，∴，當(dāng)時(shí)，射線與，交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別是，，∵這兩點(diǎn)重合，∴；（2）根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，射線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；

當(dāng)時(shí)，射線與，的兩個(gè)交點(diǎn)，的分別與，關(guān)于軸對稱，易證四邊形與 為梯形，∴四邊形的面積為.

試題解析：（1）為圓，為橢圓，

當(dāng)時(shí)，射線與，交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別是，，∵這兩點(diǎn)間的距離為，∴，

當(dāng)時(shí)，射線與，交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別是，，∵這兩點(diǎn)重合，∴；

（2），的普通方程分別為，，

當(dāng)時(shí)，射線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；

當(dāng)時(shí)，射線與，的兩個(gè)交點(diǎn)，的分別與，關(guān)于軸對稱，∴四邊形與 為梯形，∴四邊形的面積為.

考點(diǎn)：1.參數(shù)方程化為普通方程；2.圓與圓錐曲線的綜合.