Question

7．定義數(shù)列{a_n}的“項(xiàng)的倒數(shù)的n倍和數(shù)”為T(mén)_n=$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+…+\frac{n}{a_n}（n∈{N^*}）$，已知T_n=$\frac{n^2}{2}$（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}是（　�。�

• A． 單調(diào)遞減的
• B． 單調(diào)遞增的
• C． 先增后減的
• D． 先減后增的

Answer 1

分析 求出n=1時(shí)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)，再由當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-T_n-1，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再判斷單調(diào)性，運(yùn)用分子常數(shù)化或作差法，即可得到單調(diào)性．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}$，
解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，${T_n}-{T_{n-1}}=\frac{n}{a_n}=\frac{n^2}{2}-\frac{{{{（{n-1}）}^2}}}{2}=\frac{2n-1}{2}$，
所以${a_n}=\frac{2n}{2n-1}（{n≥2}）$，
綜上有${a_n}=\frac{2n}{2n-1}=1+\frac{1}{2n-1}（{n∈{N_+}}）$，
所以a₁＞a₂＞a₃＞…，即數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減的．
（或用${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{-2}{{（{2n+1}）（{2n-1}）}}＜0$）．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．