Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{1}{x}{\;}$（a∈R）．
（1）判斷f（x）奇偶性；
（2）當(dāng)f（x）在（1，+∞）遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷，需要分類討論a的取值范圍對(duì)f（x）的奇偶性的影響；
（2）根據(jù)f（x）在（1，+∞）遞增，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以得知答案．

解答 解：（1）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}{\;}$，顯然為奇函數(shù)，
②當(dāng)a≠0時(shí)，∵f（1）=a+1，f（-1）=a-1，可得f（1）≠f（-1），且f（1）+f（-1）≠0，
∴f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，可得f′（x）=$\frac{2a{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在（1，+∞）遞增，即f′（x）≥0對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
∴2ax³-1≥0對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
∴2a$≥\frac{1}{{x}^{3}}$，x∈（1，+∞），
∴2a≥1，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
即a∈[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查學(xué)生的靈活轉(zhuǎn)化問題的能力，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)將題目條件f（x）在（1，+∞）遞增轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，即可得出答案，屬于中檔題．