Question

15．已知a，b，c∈R，且$\frac{1}{1+{a}^{2}}$+$\frac{1}{1+4^{2}}$+$\frac{1}{1+9{c}^{2}}$=1，則|6abc-1|的最小值為（　�。�

• A． 3$\sqrt{3}$+1
• B． 2$\sqrt{2}$-1
• C． 3$\sqrt{3}$-1
• D． 2$\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 可設a=tanα，2b=tanβ，3c=tanγ，且α，β，γ∈（0，$\frac{π}{2}$），由同角的基本關系式，可得cos²α+cos²β+cos²γ=1，構造長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，設三邊長為x，y，z，可得長方體的對角線與三邊的夾角的余弦的平方和為1，由正切函數(shù)的定義，結合基本不等式即可得到最小值．

解答 解：可設a=tanα，2b=tanβ，3c=tanγ，且α，β，γ∈（0，$\frac{π}{2}$），
即有$\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$+$\frac{1}{1+ta{n}^{2}β}$+$\frac{1}{1+ta{n}^{2}γ}$=1，
即$\frac{1}{se{c}^{2}α}$+$\frac{1}{se{c}^{2}β}$+$\frac{1}{se{c}^{2}γ}$=cos²α+cos²β+cos²γ=1，
構造長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，設三邊長為x，y，z，
可得長方體的對角線與三邊的夾角的余弦的平方和為1，
則|6abc-1|=|tanαtanβtanγ-1|=|$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{z}$•$\frac{\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}}{x}$•$\frac{\sqrt{{z}^{2}+{x}^{2}}}{y}$-1|
≥|$\frac{\sqrt{2xy}}{z}$•$\frac{\sqrt{2yz}}{x}$•$\frac{\sqrt{2zx}}{y}$-1|=|2$\sqrt{2}$-1|=2$\sqrt{2}$-1．
當且僅當x=y=z時，取得最小值2$\sqrt{2}$-1．
故選：B．

點評 本題考查最值的求法，注意運用三角換元和構造長方體，運用基本不等式，考查運算能力，屬于難題．