Question

2．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE=1，BF=3，沿EF將四邊形AEFB折成四邊形A′EFB′，使點(diǎn)B′在平面CDEF上的射影H在直線DE上，且EH=1．
（1）求證：A′D∥平面B′FC；
（2）求C到平面B′HF的距離．

Answer 1

分析 （1）證明A′E∥B′F，即可證明B′F∥平面A′ED，然后證明CF∥平面A′ED，推出平面A′ED∥平面B′FC，然后證明A′D∥平面B′FC．
（2）求出B′H，求出S_△HFC，利用${V_{C-{B^'}HF}}={V_{{B^'}-HFC}}$求解即可．

解答 （1）證明：∵AE∥BF，∴A′E∥B′F，又A′E?平面A′ED，B′F?平面A′ED
∴B′F∥平面A′ED
同理又CF∥ED，CF∥平面A′ED
且B′F∩CF=F，∴平面A′ED∥平面B′FC
又A′D?平面A′ED，∴A′D∥平面B′FC
（2）解：由題可知，${B^'}E=\sqrt{5}$，EH=1，∵B′H⊥底面EFCD，
∴${B^'}H=\sqrt{{B^'}{E^2}-E{H^2}}=2$，
又B′F=3，∴$HF=\sqrt{{B^'}{F^2}-{B^'}{H^2}}=\sqrt{5}$，F(xiàn)C=AD-BF=2S_△HFC=FC•CD=2，${S_{△{B^'}HF}}=\frac{1}{2}{B^'}H•HF=\sqrt{5}$，${V_{C-{B^'}HF}}={V_{{B^'}-HFC}}$，∴${S_{△{B^'}HF}}{d_C}={S_{△HFC}}•{B^'}H$，
∴${d_C}=\frac{{{S_{△HFC}}•{B^'}H}}{{{S_{△{B^'}HF}}}}=\frac{2×2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．