Question

10．函數f（x）=ax³+bx²-3x 在點x=1 處取得極大值為2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據f（1）=2，f′（1）=0，求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函數f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最值即可．

解答 解：（1）求導 f'（x）=3ax²+2bx-3，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3=2}\\{3a+2b-3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-7}\\{b=12}\end{array}\right.$，
所以f（x）=-7x³+12x²-3x；
（2）f'（x）=-21x²+24x-3=-3（x-1）（7x-1），
列表如下：

x	0	（0，$\frac{1}{7}$）	$\frac{1}{7}$	（$\frac{1}{7}$，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		-	0	+	0	+
f（x）	0	減	極小值	增	極大值	減	-14

因為f（0）=0，$f（\frac{1}{7}）=-\frac{10}{49}$，f（1）=2，f（2）=-14，
所以當x∈[0，2]時，f（x）_max=2，f（x）_min=-14．

點評 本題考查了導數的意義，考查函數的單調性、最值問題，是一道中檔題．