Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn).

（I）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為的直線交于， 兩點(diǎn)，求的面積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（I）將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求參數(shù)p，即得標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)斜式寫直線方程，與拋物線聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求底邊邊長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求高，最后代入三角形面積公式得面積.

試題解析：（I）依題意可設(shè)拋物線的方程是

因?yàn)閽佄锞�過點(diǎn)，所以，解得，

所以拋物線的方程

（Ⅱ）法一：

由（I）得，焦點(diǎn)，依題意知直線的方程是，

聯(lián)立方程化簡(jiǎn)，得

設(shè)則，

利用弦長(zhǎng)公式得.

點(diǎn)到直線的距離，

所以的面積為.

法二：

由（I）得，焦點(diǎn)，依題意知直線的方程是，

聯(lián)立方程化簡(jiǎn)，得

設(shè)則，

采用割補(bǔ)法，則的面積為

法三：

由（I）得，焦點(diǎn)，依題意知直線的方程是，

聯(lián)立方程化簡(jiǎn)，得

設(shè)由韋達(dá)定理，得.

利用拋物線定義，得

點(diǎn)到直線的距離，

所以的面積為.