Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD 中，側(cè)面PAB 為正三角形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，E 為PD 的中點，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=2．
（1）求證CE∥平面PAB；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AP中點F，連EF，BF，從而可證四邊形EFBC為平行四邊形，從而得到CE∥BF，從而證明CE∥平面PAB；
（2）取AB的中點O，可證PO⊥底面ABCD，利用已知求得|PO|=$\sqrt{3}$，S_梯形ABCD=6，利用四棱錐的體積公式即可求值．

解答 解：（1）證明：取AP中點F，連EF，BF，
∵E為PD中點，∴EF∥AD且EF=$\frac{1}{2}$AD，
又∵BC∥AD且BC=$\frac{1}{2}$AD，∴EF∥BC且EF=BC，
∴四邊形EFBC為平行四邊形，
∴CE∥BF，
∴CE∥平面PAB；…6分
（2）如圖，取AB的中點O，在正三角形PAB中，PO⊥AB，
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，PO?側(cè)面PAB，
∴PO⊥底面ABCD，…8分
由AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=2，
可得：|PO|=$\sqrt{3}$，S_梯形ABCD=6…10分
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD|PO|=$\frac{1}{3}×6×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$…12分

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，四棱錐體積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．