Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）（n∈N^*），b₁=-λ．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項公式可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），結合數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，可得b₂＞b₁，且b_n+2＞b_n+1 對任意的n∈N^*恒成立，由此求得
實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}+1$，則$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
又∵a₁=1，∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+1={2}^{n}$，即${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}-1}$；
（2）b_n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-2λ）•2ⁿ，
又∵數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴b₂＞b₁，且b_n+2＞b_n+1 對任意的n∈N^*恒成立，
由b₂＞b₁ 可得$λ＜\frac{2}{3}$，
由b_n+2＞b_n+1 可得$λ＜\frac{n}{2}+1$對于任意的n∈N^*恒成立，∴$λ＜\frac{3}{2}$，
綜上可知，$λ＜\frac{2}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了等比數(shù)列通項公式的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．