Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，且a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，則通項(xiàng)公式a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得S_n=n²a_n，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²a_n-1，兩式相減得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，從而

an

an-1

=

n-1

n+1

，由此利用累乘法能求出通項(xiàng)公式a_n．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴S_n=n²a_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²a_n-1，兩式相減得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，
故

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴

an

a1

=

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

2

n(n+1)

，
∵a₁=

1

2

，a_n=

1

n(n+1)

，
當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，故a_n=

1

n(n+1)

對任意n∈N₊成立．
故答案為：

1

n(n+1)

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意累乘法的合理運(yùn)用．