Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+

2

x+1

+ax-2（其中a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的最小值；
（2）若x∈[0，2]時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先由函數(shù)的解析式求出定義域，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．
（2）分a=1、a＞1、0＜a＜1三種情況，分別檢驗條件是否成立，從而得出a的范圍．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=ln（x+1）+

2

x+1

+ax-2（其中a＞0），可得x+1＞0，即x＞-1，故f（x）的定義域為（-1，+∞）．
當(dāng)a=1時，f(x)=ln(x+1)+

2

x+1

+x-2，
令f′(x)=

1

x+1

-

2

(x+1)2

+1=

x(x+3)

(x+1)2

=0，求得x=0，
且f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴此時f（x）的最小值為f（0）=0．
（2）由（1）知當(dāng)a=1時，f（x）≥0恒成立，即ln(x+1)+

2

x+1

+x-2≥0恒成立；
所以當(dāng)a＞1，x∈[0，2]時，f(x)=ln(x+1)+

2

x+1

+ax-2≥ln(x+1)+

2

x+1

+x-2≥0，滿足條件，
故a≥1符合要求．
當(dāng)0＜a＜1時，f′(x)=

1

x+1

-

2

(x+1)2

+a=

ax2+(2a+1)x+a-1

(x+1)2

，
由于方程ax²+（2a+1）x+a-1=0的△=8a+1＞0，所以該方程有兩個不等實根x₁，x₂，且x₁＜x₂．
由x1x2=

a-1

a

＜0知，x₁＜0＜x₂ ，∴f（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減．
若0＜x₂＜2，則f（x₂）＜f（0）=0，矛盾；
若x₂≥2，則f（2）＜f（0）=0，也與條件矛盾．
綜上可知，a的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．