Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow$=（cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），其中ω＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）若函數(shù)f（x）的最小正周期是π，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$，求ω的最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x），利用周期公式求出ω得出f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出sin（$\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}$）=0，解出ω．

解答 解：f（x）=cos²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx=$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[$-\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）∵函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$，
∴sin（$\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}$）=0，∴$\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}$=kπ，解得ω=3k-$\frac{1}{2}$．
∵ω＞0，∴當(dāng)k=1時，ω取得最小值$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的恒等變換，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式或發(fā)出是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．