Question

7．已知數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，首項為a₁，且$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=（log₂a_3n+1）×（log₂a_3n+4），求證：$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差數(shù)列，可得2a_n=$\frac{1}{2}+{S}_{n}$，當(dāng)n=1時，2a₁=$\frac{1}{2}+{a}_{1}$，解得a₁．當(dāng)n≥2時，2a_n-2a_n-1=a_n，化為：a_n=2a．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$lo{g}_{2}{2}^{（3n-1）}$•log₂（3n+2）=（3n-1）（3n-2），可得$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 （1）解：∵$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差數(shù)列，∴2a_n=$\frac{1}{2}+{S}_{n}$，
當(dāng)n=1時，2a₁=$\frac{1}{2}+{a}_{1}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時，2a_n-2a_n-1=$\frac{1}{2}+{S}_{n}$-$（\frac{1}{2}+{S}_{n-1}）$=a_n，化為：a_n=2a．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為2．∴a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
（2）證明：b_n=（log₂a_3n+1）×（log₂a_3n+4）=$lo{g}_{2}{2}^{（3n-1）}$•log₂（3n+2）=（3n-1）（3n-2），
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．
∴$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$＜$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．