Question

15．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²x-$\sqrt{3}$，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]．求
（1）函數(shù)f（x）的最大值、最小值．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大值、最小值．
（2）根據(jù)所給的x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²x-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$+cos2x+1-$\sqrt{3}$，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2sin$\frac{2π}{3}$+1=$\sqrt{3}$+1；
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為2sin$\frac{5π}{6}$+1=2．
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1為減函數(shù)，
故函數(shù)的減區(qū)間為[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．