Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3x（x≥0），對于曲線y=f（x）上橫坐標成公差為1的等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷：①△ABC一定是鈍角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能為銳角三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形，其中所有正確的序號是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象,等差數(shù)列的通項公式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于函數(shù)f（x）=x³+3x（x≥0），對于曲線y=f（x）上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A，B，C，由函數(shù)的定義及函數(shù)單調(diào)性進行判斷即可得出正確選項，對于①正確，由函數(shù)的圖象可以得出，角ABC是鈍角，②亦可由此判斷出；③④可由變化率判斷出．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=x³+3x（x≥0），
∴f′（x）=3x²+3＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)
對于曲線y=f（x）上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A，B，C，且橫坐標依次增大
由于此函數(shù)是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，故由A到B的變化率要小于由B到C的變化率．（可以采用向量BA乘以向量BC小于零的解法）
可得出∠ABC一定是鈍角故①對，②錯．
由于由A到B的變化率要小于由B到C的變化率，由兩點間距離公式可以得出AB＜BC，
故三角形不可能是等腰三角形，
由此得出③不對，④對．
故選：D．

點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，求解本題的關(guān)鍵是反函數(shù)的性質(zhì)及其變化規(guī)律研究清楚，由函數(shù)的圖形結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得出答案．