Question

9．正項數列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=1，且$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n≥2），則此數列的第2 016項為（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{2015}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{2016}}$
• C． $\frac{1}{2016}$
• D． $\frac{1}{1008}$

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n≥2），可知：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，再利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：由$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n≥2），可知：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
故數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$為等差數列，于是$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
所以a_n=$\frac{2}{n}$，于是a₂₀₁₆=$\frac{1}{1008}$，
故選：D．

點評 本題考查了等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．