Question

17．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱DD₁的中點，求證：
（1）BD₁∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB₁C；
（3）若AB=4，求三棱錐B₁-AEC的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O，則O為BD的中點，連接OE，利用中位線定理得出BD₁∥OE，于是BD₁∥平面EAC；
（2）連結(jié)OB₁，EB₁，由勾股定理得出OB₁⊥OE，由AB₁=B₁C得出OB₁⊥AC，于是OB₁⊥平面ACE，從而平面EAC⊥平面AB₁C；
（3）證明OA⊥平面OB₁E，故V${\;}_{{B}_{1}-ACE}$=2V${\;}_{A-O{B}_{1}E}$=2×$\frac{1}{3}$S${\;}_{△O{B}_{1}E}$×OA．

解答 證明：（1）連接BD交AC于O，則O為BD的中點，連接OE．
∵E是DD₁的中點，O是BD的中點，
∴BD₁∥OE，又OE?平面ACE，BD₁?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．
（2）連結(jié)OB₁，EB₁，
∵AB₁=CB₁，O是AC的中點，
∴OB₁⊥AC，
設(shè)正方體棱長為a，則OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，DE=$\frac{1}{2}a$，B₁D₁=$\sqrt{2}$a．
∴OB₁=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，OE=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，B₁E=$\sqrt{2{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{3}{2}$a．
∴OB₁²+OE²=B₁E²，即OB₁⊥OE，
又AC?平面ACE，OE?平面ACE，AC∩OE=O，
∴OB₁⊥平面ACE，又OB₁?平面AB₁C，
∴平面EAC⊥平面AB₁C．
（3）當AB=4時，由（2）可知OB₁=2$\sqrt{6}$，OE=2$\sqrt{3}$，OB₁⊥OE，OB₁⊥AC，
∴S${\;}_{△O{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}•O{B}_{1}•OE$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×2\sqrt{3}$=6$\sqrt{2}$．
又AC⊥BD，BD∩OB₁=O，
∴AC⊥平面OB₁E，
∴V${\;}_{{B}_{1}-ACE}$=2V${\;}_{A-O{B}_{1}E}$=2×$\frac{1}{3}$S${\;}_{△O{B}_{1}E}$×OA=2×$\frac{1}{3}$×$6\sqrt{2}$×$2\sqrt{2}$=16．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．