Question

12．已知函數(shù)$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$，其中a∈R．
（1）當a=-$\frac{1}{2}$時，求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）已知a＞0，函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），若函數(shù)y=f（x）+f^-1（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為1+log₂3，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明即可．
（2）根據(jù)f（x）與反函數(shù)的單調(diào)性相同，根據(jù)最小值建立方程關(guān)系求出a的值進行求解即可．

解答 解：（1）當a=-$\frac{1}{2}$時，$f（x）=-\frac{1}{2}x+{log_2}（{2^x}+1）$，定義域為R，
$f（-x）=\frac{1}{2}x+{log_2}（{2^{-x}}+1）$=$\frac{1}{2}x+{log_2}（\frac{{1+{2^x}}}{2^x}）$
=$\frac{1}{2}x+{log_2}（{2^x}+1）-{log_2}{2^x}$=$-\frac{1}{2}x+{log_2}（{2^x}+1）$=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）與f^-1（x）單調(diào)性相同，
∴當a＞0時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則y=f（x）+f^-1（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，
則函數(shù)的最小值為當x=1時，y=f（1）+f^-1（1）=1+log₂3，
即a+log₂3+f^-1（1）=1+log₂3，則f^-1（1）=1-a，
即f（1-a）=1，
則a（1-a）+log₂（2^1-a+1）=1，
得a=1，
此時f（x）=x+log₂（2^x+1）在[1，2]上是增函數(shù)，
則函數(shù)的最大值為f（2）=2+log₂（2²+1）=2+log₂5．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性相同建立方程求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．