Question

7．如圖是一個(gè)以△A₁B₁C₁為底面的直角三棱柱被一平面截得的幾何體，截面為△ABC，已知AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，在邊AB上是否存在一點(diǎn)O，使得OC∥平面A₁B₁C₁？

Answer 1

分析 作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D，根據(jù)梯形中位線定理及平行四邊形判定定理，可得四邊形ODC₁C是平行四邊形，進(jìn)而OC∥C₁D，根據(jù)線面平行的判定定理，可得OC∥平面A₁B₁C₁．

解答 證明：在邊AB上存在AB的中點(diǎn)O，使得OC∥平面A₁B₁C₁．
取AB的中點(diǎn)O，作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D，
則OD∥BB₁∥CC₁，
因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)D=$\frac{1}{2}$（AA₁+BB₁）=3=CC₁，
則四邊形ODC₁C是平行四邊形，
因此有OC∥C₁D，C₁D?平面C₁B₁A₁，
且OC?平面C₁B₁A₁，
則OC∥平面A₁B₁C₁．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．