【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，且過點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若不過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，記線段的中點(diǎn)為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（3）若直線過點(diǎn)，求面積的最大值，以及取最大值時(shí)直線的方程．

【答案】（1）（2）見解析 （3）最大值.

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)求得，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)列方程組，解方程組求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，由此計(jì)算出為定值.

（3）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，求得面積的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合基本不等式求得面積的最大值，以及此時(shí)直線的方程.

（1）由題意知有，且，解得，∴.

（2）證明：設(shè)直線的方程為，

設(shè)，，，

則由可得，即，

∴，∴，

，

，

∴直線的斜率與的斜率的乘積為定值.

（3）點(diǎn)，，

由可得，

，解得，

，，

∴

.

設(shè)，，

，

，

當(dāng)時(shí)，取得最大值.

此時(shí)，即，

所以直線方程是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某個(gè)公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．

(1)現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D，E，F，如圖(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面積S△DEF的最大值；

(2)現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個(gè)荷塘，分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F，如圖(2)，建造△DEF

連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，求△DEF邊長(zhǎng)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處取得極小值．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著我國經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，人民生活水平得到很大提高，汽車已經(jīng)進(jìn)入千千萬萬的家庭.大部分的車主在購買汽車時(shí)，會(huì)在轎車或者中作出選擇，為了研究某地區(qū)哪種車型更受歡迎以及汽車一年內(nèi)的行駛里程，某汽車銷售經(jīng)理作出如下統(tǒng)計(jì)：

購買了轎車（輛）

購買了（輛）

歲以下車主

歲以下車主

表

圖

（I）根據(jù)表，是否有的把握認(rèn)為年齡與購買的汽車車型有關(guān)？

（II）圖給出的是名車主上一年汽車的行駛里程，求這名車主上一年汽車的平均行駛里程（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（III）用表中的頻率估計(jì)概率，隨機(jī)調(diào)查名歲以下車主，設(shè)其中購買了轎車的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將個(gè)不同的紅球和個(gè)不同的白球，放入同一個(gè)袋中，現(xiàn)從中取出個(gè)球.

（1）若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)，則有多少種不同的取法；

（2）取出一個(gè)紅球記分，取出一個(gè)白球記分，若取出個(gè)球的總分不少于分，則有多少種不同的取法；

（3）若將取出的個(gè)球放入一箱子中，記“從箱子中任意取出個(gè)球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到個(gè)紅球并且恰有一次取到個(gè)白球的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年，中國某省的一個(gè)地區(qū)社會(huì)民間組織為年齡在30歲-60歲的圍棋愛好者舉行了一次晉級(jí)賽，參賽者每人和一位種子選手進(jìn)行一場(chǎng)比賽，贏了就可以晉級(jí)，否則，就不能晉級(jí)，結(jié)果將晉級(jí)的200人按年齡（單位：歲）分成六組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組，下圖是按照上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若先在第四組、第五組、第六組中按組分層抽樣共抽取10人，然后從被抽取的這10人中隨機(jī)抽取3人參加優(yōu)勝比賽.

①求這三組各有一人參加優(yōu)勝比賽的概率；

②設(shè)為參加優(yōu)勝比賽的3人中第四組的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】△ABC中，A(0,1)，AB邊上的高CD所在直線的方程為x＋2y－4＝0，AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x＋y－3＝0.

(1)求直線AB的方程；

(2)求直線BC的方程；

(3)求△BDE的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知矩形的四條邊都與橢圓相切，設(shè)直線AB方程為，求矩形面積的最小值與最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：.

（Ⅰ）、是拋物線上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，試證明直線必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，拋物線在、處的切線相交于點(diǎn)，求面積的取值范圍.

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