【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是,離心率為

)求橢圓的方程;

)已知矩形的四條邊都與橢圓相切,設(shè)直線AB方程為,求矩形面積的最小值與最大值.

【答案】;()當(dāng)時(shí)S有最大值10;當(dāng)k=0時(shí),S有最小值8.

【解析】

試題()利用待定系數(shù)法即可,由題意,橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是,

所以,又,橢圓C的方程是;()注意斜率的討論,當(dāng)時(shí),

橢圓的外切矩形面積為8. 當(dāng)時(shí), AB所在直線方程為,所以,直線BCAD的斜率均為.聯(lián)立直線AB與橢圓方程可得,令得到,直線AB與直線DC之間的距離為,同理可求BCAD距離為,所以矩形ABCD的面積為,再利用基本不等式即可解決.

試題解析:()由題意,橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是,

所以

又,離心率為,即

解得,

故橢圓C的方程是

)當(dāng)時(shí),

橢圓的外切矩形面積為8.

當(dāng)時(shí),

橢圓的外切矩形的邊AB所在直線方程為

所以,直線BCAD的斜率均為.

,消去y

化簡得:

所以,直線AB方程為

直線DC方程為

直線AB與直線DC之間的距離為

同理,可求BCAD距離為

則矩形ABCD的面積為

由均值定理

僅當(dāng),即時(shí)S有最大值10.

因此,當(dāng)時(shí)S有最大值10;

當(dāng)K=0時(shí),S有最小值8.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B. 成績是100分的人數(shù)比成績是50分的人數(shù)多

C. 成績落在70-90分的人數(shù)有35人

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