Question

12．若函數f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$ax²-2x在x∈（1，2）內存在單調遞減區(qū)間，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，$\frac{4}{5}$）
• C． （0，1）
• D． （0，$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 由題意可得f′（x）≤0在x∈（1，2）上成立，即a≤$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$在x∈（1，2）上成立，令g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，則g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，在x∈（1，2）上單調遞減，即可得出結論．

解答 解：f′（x）=$\frac{a}{x}$+ax-2，
∴f′（x）≤0在x∈（1，2）上成立，
即$\frac{a}{x}$+ax-2≤0，在x∈（1，2）上成立，
即a≤$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$在x∈（1，2）上成立．
令g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{1+{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，在x∈（1，2）上單調遞減，
∵g（2）=$\frac{4}{5}$，
∴a＜$\frac{4}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查學生利用導數研究函數的單調性知識及轉化劃歸思想的運用能力，屬中檔題．