Question

14．函數(shù)f（x）=ax²+bx-1，且0≤f（1）≤1，-2≤f（-1）≤0，則z=$\frac{2a+b}{a+3b}$的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，2]．

Answer 1

分析 利用已知條件得到a，b的不等式組，利用目標函數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²+bx-1，且0≤f（1）≤1，-2≤f（-1）≤0，
可得0≤a+b-1≤1，-2≤a-b-1≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{1≤a+b≤2}\\{-1≤a-b≤1}\end{array}\right.$，表示的可行域如圖：
，
$\frac{a}≥0$
則z=$\frac{2a+b}{a+3b}$=$\frac{2+\frac{a}}{1+\frac{3b}{a}}$，令t=$\frac{a}$，可得z=$\frac{2+t}{1+3t}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{3+9t}$．t≥0．
$\frac{5}{3+9t}∈（0，\frac{5}{3}]$，又b=1，a=0成立，此時z=$\frac{1}{3}$，
可得z∈[$\frac{1}{3}$，2]
故答案為：[$\frac{1}{3}$，2]．

點評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．