Question

3．已知A、B為橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1和雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1的公共頂點(diǎn)，P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于兩點(diǎn)A、B的動(dòng)點(diǎn)，且有$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{QB}$）（λ∈R，|λ|＞1），設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，則k₁+k₂+k₃+k₄的值（　　）

• A． 大于0
• B． 等于0
• C． 小于0
• D． 大于0，等于0，小于0都有可能

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），利用斜率公式得到k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$；同理可得k₃+k₄=-$\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}$，結(jié)合O、P、Q三點(diǎn)共線即可得出k₁+k₂+k₃+k₄的值．

解答 解：由題意，O、P、Q三點(diǎn)共線．
設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
點(diǎn)P在雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1上，有x₁²-4=4y₁²．
所以k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$．    ①
又由點(diǎn)Q在橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上，有x₂²-4=-2y₂²．
同理可得k₃+k₄=-$\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}$②
∵O、P、Q三點(diǎn)共線．
∴$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$．
由①、②得k₁+k₂+k₃+k₄=0．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、雙曲線的幾何性質(zhì)、圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．